[OATZ] Forum

Lieblingskost eines Stringtheoretikers:



Brans..

und Strings:

muss ma das verstehn?

Nein

wer sich über Atomenergie und den aktuellen Stand in der AKW-Debatte informieren möchte:

Mit neuer Strahlkraft

mit Empfehlung von Univ.-Prof. BO3ck

Warum es uns gibt und was das mit K-Mesonen zu tun hat

guter und leicht verständlicher Artikel von meinem Mentor

bin heute fast den ganzen Tag gesessen, um diese Abhandlung zu schreiben:


da Formeln in diesem Forum nur schlecht dargestellt werden können, hab ichs als pdf attached.

Der Text handelt von der Variationsrechnung, einem der wichtigsten physikalischen Rechenprinzipien der modernen Physik und ist so gehalten, dass er nicht populärwiss.-oberflächlich und trotzdem für jedermann verständlich ist. Es werden nur die Mathematikkenntnisse aus der Schule benötigt, darüber hinausgehende mathem. Kniffe werden genauestens erklärt.

• Abschnitt 1: Prinzip der Variationsrechnung
• Abschnitt 2: Physikalische Anwendung; Symmetrien und Invarianzen
• Abschnitt 3: Herleitung der Lagrange-Funktion zum Newton'schen Kraftgesetz; Anwendungsbsp.
• Abschnitt 4: Herleitung des Impuls- und Energieerhaltungssatzes

.

Variationsrechnung braucht man ja auch zu Quantenmechanischen Berechnungen nicht?

jo genau! da kommt das überall vor in der einen oder anderen modifizierten form.

Ich les grad den Text und da tauchen (wie zu erwarten war) ein paar Fragen auf:

Gibt es einen mathematisch definierten Unterschied zwischen einer variierten Variablen dx (d ist dabei das komisch verschnörkselte d, das du in deiner Abhandlung auch benutzt) und einem partiellen Differential dx (wobei d hier das d ist, wo der Strich nicht nach oben sondern nach links schräg wegverläuft, so wies eben üblicherweise für partielle Ableitungen verwendet wird)?

Bei uns bei der Mechanik3 kommen ein paar Sätze, die d'Alembert und Lagrange für die Mechanik abgeleitet haben, zur Anwendung, wo auch immer das verschnörkselte verwendet wird. Dabei handelt es sich um virtuelle Verschiebungen von statischen Systemen (eben virtuell genannt, weil es statische Sys. sind, wo sich nix verschiebt) um Längen oder auch Winkel.

Ich war eben bis jetzt der Meinung, daß das Symbol deswegen ein anderes ist, weil es sich nicht um ein Differential im mathematischen Sinn von infinitesimal kleinen Größen handelt, sondern einfach um irgend eine beliebig kleine Größe, wobei deren Größe eh egal ist (ist schließlich virtuell und nur für den Gedankenschluß gut, hat sonst keine Bedeutung), solange sie klein genug bleibt, um diverse Linearisierungsmöglichkeiten ausnutzen zu können.

Übrigens - von der Variationsrechnung hab ich von Mathe-Seite bis jetzt noch nie was gehört. Wir wenden in der Mech3 den "Satz über virtuelle Arbeiten" nur an, weil er recht praktisch ist, u. a. auch für mehrfach statisch unbestimmte Systeme. Oder für Systeme, wo man keine Lust hat, genau die kinematischen Zusammenhängen von irgendwelchen Teilen rauszufinden, sondern einfach mit den (linearisierten) Verschiebungen rechnet.

Das ganze läuft darauf hinaus, daß bei virtueller Verschiebung die Lagerkräfte plötzlich Arbeit leisten (also Skalarprodukt mit dem Verschiebungsvektor), während sie normalerweise ortsfest mit einem Punkt gekoppelt sind und so keine Arbeit leisten.

Wenn man jetzt starre Körper hat, werden andere Punkte mit äußeren und eingeprägten oder auch (bei Freimachung) Schnitt-kräften Arbeit leisten, die genau gleich groß sein muß in Summe. Das ist das Prinzip von d'Alembert.

Der Lagrange hat das ganze dann noch auf Dynamik-Probleme von Festkörpern erweitert. Also da sind dann halt noch die kinetische Energie und diverse andere Potentiale drin enthalten. Oder auch Arbeiten in geschwindigkeitsprop. Dämpfern (eben maßgeschneidert auf unsere üblichen Probleme).

---

Bei dem Satz auf der zweiten Seite versteh ich nicht, warum sich der Koeffizient Epsilon auch so ohne weiteres in BEIDEN Argumenten von der Lagrange-Funktion wiederfindet. Kann man das so erklären, daß er beim Differenzieren von der Funktion v ja erhalten bleibt? Echt so einfach?

So, ab 3.) les ich ein andermal weiter.

Gibt es einen mathematisch definierten Unterschied zwischen einer variierten Variablen dx (d ist dabei das komisch verschnörkselte d, das du in deiner Abhandlung auch benutzt) und einem partiellen Differential dx (wobei d hier das d ist, wo der Strich nicht nach oben sondern nach links schräg wegverläuft, so wies eben üblicherweise für partielle Ableitungen verwendet wird)?

prinzipiell nicht. in beiden fällen geht es um eine sehr kleine, von null verschiedene länge. dx könnte aber in einer mehrdimensionalen rechnung zB. auch ein infinitesimal kleiner Raumvektor sein, bei partiellen Ableitungen geht das natürlich nicht.


Bei uns bei der Mechanik3 kommen ein paar Sätze, die d'Alembert und Lagrange für die Mechanik abgeleitet haben, zur Anwendung, wo auch immer das verschnörkselte verwendet wird. Dabei handelt es sich um virtuelle Verschiebungen von statischen Systemen (eben virtuell genannt, weil es statische Sys. sind, wo sich nix verschiebt) um Längen oder auch Winkel.

in diesem Fall werden aber glaub ich nicht die Koordinatensysteme (virtuell) verschoben, sondern die Positionen der mechanischen Teile (obwohl genaugenommen natürlich das eine aufs andere hinauskommt.)


Ich war eben bis jetzt der Meinung, daß das Symbol deswegen ein anderes ist, weil es sich nicht um ein Differential im mathematischen Sinn von infinitesimal kleinen Größen handelt, sondern einfach um irgend eine beliebig kleine Größe, wobei deren Größe eh egal ist (ist schließlich virtuell und nur für den Gedankenschluß gut, hat sonst keine Bedeutung), solange sie klein genug bleibt, um diverse Linearisierungsmöglichkeiten ausnutzen zu können.

ja, das ist es eh, die Größe ist nur insofern nicht egal, als man damit dann mit linearisierten Näherungen rechnen will. Differentialrechnung ist ja, solange es nur um erste Ableitungen geht, nichts anderes als Linearisierungsrechnung (zb. um Tangente an einem Punkt anlegen)


Übrigens - von der Variationsrechnung hab ich von Mathe-Seite bis jetzt noch nie was gehört. Wir wenden in der Mech3 den "Satz über virtuelle Arbeiten" nur an, weil er recht praktisch ist, u. a. auch für mehrfach statisch unbestimmte Systeme. Oder für Systeme, wo man keine Lust hat, genau die kinematischen Zusammenhängen von irgendwelchen Teilen rauszufinden, sondern einfach mit den (linearisierten) Verschiebungen rechnet.

bei Variationsrechnung werden aber ganze Funktionen verändert, nicht nur diskrete Positionen von bestimmten Körpern


Das ganze läuft darauf hinaus, daß bei virtueller Verschiebung die Lagerkräfte plötzlich Arbeit leisten (also Skalarprodukt mit dem Verschiebungsvektor), während sie normalerweise ortsfest mit einem Punkt gekoppelt sind und so keine Arbeit leisten.

Wenn man jetzt starre Körper hat, werden andere Punkte mit äußeren und eingeprägten oder auch (bei Freimachung) Schnitt-kräften Arbeit leisten, die genau gleich groß sein muß in Summe. Das ist das Prinzip von d'Alembert.

Der Lagrange hat das ganze dann noch auf Dynamik-Probleme von Festkörpern erweitert. Also da sind dann halt noch die kinetische Energie und diverse andere Potentiale drin enthalten. Oder auch Arbeiten in geschwindigkeitsprop. Dämpfern (eben maßgeschneidert auf unsere üblichen Probleme).

interessant! wir haben irgendwann in Mechanik glaub ich eh auch einmal was mit virtuellen Kräften rechnen müssen, halt ein ganz leichtes Beispiel. Kann mich aber leider nicht mehr dran erinnern.

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Bei dem Satz auf der zweiten Seite versteh ich nicht, warum sich der Koeffizient Epsilon auch so ohne weiteres in BEIDEN Argumenten von der Lagrange-Funktion wiederfindet. Kann man das so erklären, daß er beim Differenzieren von der Funktion v ja erhalten bleibt? Echt so einfach?

echt so einfach. Die Funktion v wird ja nach x differenziert, epsilon ist in dem fall dann nur ein paramater, der konstant gedacht werden kann.