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[Brett]

"Auf einer Sphäre S^n gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist."

Wie ist das genau zu verstehen? Ist n die Dimension der Fläche, auf der sich das Vektorfeld befindet (wußte gar nicht, dass man bei beliebigen Dimensionen immer noch von Sphäre reden kann, dachte das gilt nur für ^2 bzw. in einem andern Raum dann, wenn mans auf ^2 runterparametrisiert)?

Und wie steht der eine Satz mit dem andern im Zusammenhang? Wenn man einen Igel glatt streichelt, dann ist das ja ein bestimmter Igel mit zB S^n |n=2. Wieso hat er dann zumindest eine kahle Stelle, wenn seine Dimension eh gerade ist? Oder beschreibt der Igel etwa alle möglichen Sphären gleichzeitig? Oder etwa eine Sphäre S^n plus die darauffolgende S^(n+1), sofern das für den Beweis ausreichen würde?

[florianklachl]

Ja, n ist die Dimension der Fläche, auf welcher das Vektorfeld definiert ist. Eine Sphäre ist in der Mathematik eine Menge an Punkten mit konstantem Abstand zum Ursprung (also im Raum eine Kugeloberfläche). Interessant ist übrigens, dass das von einer Einheits-Sphäre (Punkte mit Abstand 1) eingeschlossene Volumen ausgerechnet in einem 5-dimensionalen Raum am größten ist. (Im unendlich-dimensionalen Raum ist das Volumen 0.)

Der Igel steht nur stellvertretend für eine Sphäre mit n=2.

[Brett]

Na gut, dann wäre der Igel ja ein Kreis... und warum hat das Tangentialvektorfeld dann mindestens eine kahle Stelle?

[florianklachl]

ich hab gemeint, ein Igel ist eine Sphäre mit n=2 in einem Raum n=3.
Für n=1 - Sphären gehts natürlich auch ohne kahle Stelle, wie der Satz besagt.

[Brett]

Also gut, wieso hat er eine, wenn er eine Kugel ist? Ich stell mir das sicher zu praktisch vor, aber wieso soll man nicht ein Feld angeben können, das für jeden Punkt einer Kugel die Tangente beschreibt?

[florianklachl]

es gibt ja auch noch eine zweite Bedingung, wonach die Tangentialvektoren stetig verlaufen müssen (d.h. sie dürfen nicht von einem Punkt auf den anderen plötzlich in eine komplett andere Richtung schauen). Und um so ein Feld zu finden, bleibt einem nichts anderes übrig, als an manchen Stellen den Nullvektor als Tangentialvektor zu setzen.

[Brett]

Ahhhh, alles klar! Das nächste Mal erklär solche Sachen gleich ein wenig ausführlicher, es sind glaub ich nicht alle am selben mathem. Level unterwegs wie du...

[florianklachl]

Klosterneuburg, das
Weltwunder


Zufall, der
unartikulierte Interjektionen des Schicksals (nach Kierkegaard)

[florianklachl]

Diplomatie, die
Kunst, mit einem Schwein freundlich aber zielorientiert über die Notwendigkeit des Sonntagsbratens zu verhandeln.


Kunst, die
Kunst ist, wenn mans nicht kann, denn wenn mans kann, ist es keine Kunst. (Johann Nestroy)


Pi, das
bekannteste mathematische Naturkonstante; reelle Zahl, welche ua. folgende Eigenschaften aufweist:

• eindeutig definierte, zufällige Ziffernfolge
• analytisch beschreibbar, aber transzendent: jeder weiß, wie es zu dieser Zahl kommt, niemand weiß, warum ausgerechnet zu dieser
• transzendent auch im math. Sinn: es gibt kein Polynom, dessen Lösung Pi ist.
• von großer praktischer und völlig abstrakter Bedeutung
• fundamentale Größe ua. in der reinen Geometrie (halber Umfang des Einheitskreises), der reinen Analysis (Grenzwert diverser unendlicher Folgen), der reinen Zahlentheorie (zB Wahrscheinlichkeiten für zufällig gewählte, teilerfremde Zahlen).

[Brett]

Chaos, das:

Zustand, der dann eintritt, wenn die, die erzwungen gescheiter sind als die andern, den andern in der Überzahl gegenüberstehen.